例えばbabel.jsでes7.asyncFunctionsを使う場合にはオプションの定義と一定のモジュールが必要なそうで

package.json

{
  "name": "shareroid",
  "version": "0.0.2",
  "dependencies": {
    "babel-runtime": "^5.6.15",
    "db.js": "^0.10.1",
    "superagent": "^1.2.0"
  },
  "devDependencies": {
    "babelify": "^6.1.2"
  },
  "scripts": {
    "build": "browserify -d src/background.js -o background.js"
  },
  "browserify": {
    "transform": [
      [
        "babelify",
        {
          "optional": [
            "es7.asyncFunctions",
            "runtime"
          ]
        }
      ]
    ]
  }
}

browserify.transofrm[0].babelify.optionalで指定すれば良いっぽい

そんだけ

追記

コマンドラインでやる場合には https://github.com/babel/babelify#enable-experimental-transforms に書いてる通り

browserify -t [ babelify --optional es7.asyncFunctions ] src/app.js

みたいにすればいいっぽい